1 Verosimiglianza profilo.

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1.1 Verosimiglianza totale

Verosimiglianza rispetto a \(\mu,\sigma^2\) per un campione di ampiezza 20 estratto da una normale standard, con osservazioni \(x_i, \ (i=1,2,..,20)\):

 [1] -1.2071  0.2774  1.0844 -2.3457  0.4291  0.5061 -0.5747 -0.5466 -0.5645 -0.8900 -0.4772 -0.9984 -0.7763  0.0645
[15]  0.9595 -0.1103 -0.5110 -0.9112 -0.8372  2.4158

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1.2 Verosimiglianza profilo

Verosimiglianza profilo: per ciascun valore fissato \(\mu\) stimiamo \(\sigma^2\) da un campione di ampiezza 20 mediante il classico stimatore di massima verosimiglianza, ma in funzione di un particolare valore di \(\mu\), e per questo espresso come \(\hat{\sigma}^2(\mu)\):

\[ \hat{\sigma}^2(\mu)=\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2}{n}\] ad esempio per il valore di \(\mu = -0.51\) la verosimiglianza è massima per \[ \hat{\sigma}^2(\mu)=\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-(-0.51))^2}{n} = 1.05 \]

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Nel grafico corrisponde a fare una sezione in corrispondenza del valore \(\mu = -0.51\) e calcolare il valore di \(\hat{\sigma}^2(\mu)\) per la quale è massima questa curva ottenuta come intersezione fra il piano con \(\mu\) costante e la verosimiglianza totale (in colore blu)

1.3 Rappresentazione dell’intera verosimiglianza profilo

A questo punto calcoliamo \(\hat{\sigma}^2(\mu)\) per tutti valori di \(\mu\) e rappresentiamo la sulla verosimiglianza la curva \(L(\hat{\sigma}^2(\mu),\mu )\), che è ora solo funzione di , e comprende i punti sulla superficie di \(L(\cdot)\), in corrispondenza di ciascun valore di \(\mu\) e dei corrispondenti ottimi \(\hat{\sigma}^2(\mu)\) (in rosso nel grafico)

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1.4 Proiezione sui piani

La proiettiamo ora su un piano, per evidenziare il fatto che si tratta di un funzione di un solo argomento (\(\mu\)) o, nel caso del modello lineare generale, del solo vettore \(\beta\).

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In questo caso particolarissimo possiamo rappresentarla in un normale plot

Comunque nel caso generale in cui abbiamo un vettore di parametri \(\beta\), la verosimiglianza profilo \(L(\hat{\sigma}^2(\beta),\beta )\) rappresenta lo strumento fondamentale con cui effettuare l’inferenza su \(\beta\) nei modelli lineari

In generale è uno strumento (non l’unico) per fare inferenza in presenza di parametri di disturbo, in questo caso \(\sigma^2\), con un approccio basato sulla verosimiglianza, che consente di affrontare in maniera coerente i problemi di prova delle ipotesi, di stima puntuale e intervallare.