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Data Frame Summary
dati
Dimensions: 1427 x 3Duplicates: 146
| No | Variable | Stats / Values | Freqs (% of Valid) | Graph |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Altezza [numeric] | Mean (sd) : 151.9 (10.1) min < med < max: 127 < 151 < 183 IQR (CV) : 15 (0.1) | 54 distinct values |  |
| 2 | Torace [numeric] | Mean (sd) : 75.6 (7.8) min < med < max: 57 < 74 < 104 IQR (CV) : 10 (0.1) | 44 distinct values |  |
| 3 | Peso [numeric] | Mean (sd) : 45 (10.7) min < med < max: 21 < 43 < 100 IQR (CV) : 14 (0.2) | 65 distinct values |  |
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2021-03-09
1.1 Primo esempio con tre variabili
Variabili osservate: Matrice di grafici per le sole variabili Altezza, Torace, Peso rilevate su 1427 righe
Altezza Torace Peso
Altezza 1.000 0.587 0.724
Torace 0.587 1.000 0.912
Peso 0.724 0.912 1.000
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Primo esempio con tre sole variabili:
Come misurare la correlazione fra le prime due variabili Altezza e Torace tenendo conto dell’influenza della terza variabile Peso?
Possiamo intanto vedere cosa succede dividendo l’intervallo della variabile Peso in 4 parti e rappresentando le prime due variabili per i soggetti di ciascun intervallo:
fac=0.01; inc=diff(range(dati$Peso))*fac
xmin=min(dati$Peso)-inc; xmax=max(dati$Peso)+inc
h=(xmax-xmin)/k
group=trunc((dati$Peso-xmin)/h+1)
table(group)group
1 2 3 4
557 755 107 8 Warning in smooth.spline(y ~ x, cv = TRUE, nknots = nknots): cross-validation with non-unique 'x' values seems doubtful
Warning in smooth.spline(y ~ x, cv = TRUE, nknots = nknots): cross-validation with non-unique 'x' values seems doubtful
Warning in smooth.spline(y ~ x, cv = TRUE, nknots = nknots): cross-validation with non-unique 'x' values seems doubtful
Warning in smooth.spline(y ~ x, cv = TRUE, nknots = nknots): cross-validation with non-unique 'x' values seems doubtful
Vediamo che la relazione cambia, ma ha un inclinazione diversa per i diversi livelli della terza variabile. Meglio cercare di levare l’influenza della variabile Peso in altro modo.
2 Derivazione usando solo la regressione lineare semplice.
2.1 Correlazione fra residui
Il modo migliore, nell’ambito delle relazioni di tipo lineare, è prendere i residui delle regressioni lineari di Altezza e Torace rispetto a Peso.
lm1=lm(Altezza~Peso,data=dati)
lm2=lm(Torace~Peso,data=dati)
par(mfrow=c(1,2))
plot(lm1,1)
plot(lm2,1)
A questo punto residuals(lm1) e residuals(lm2) non sono più influenzate almeno linearmente, dalla terza variabile, e quindi la correlazione fra questi residui -0.256 è la misura di correlazione parziale che cercavamo.
E’ come dire che stiamo misurando la correlazione fra Altezza e Torace a parità di peso oppure avendo eliminato l’influenza del peso
Nel caso particolare di questo esempio non è difficile figurarsi perchè vi è addirittura il cambio di segno nel passaggio dalla correlazione semplice fra Altezza e Torace a quella parziale: considerare l’influenza della variabile Peso fa passare da 0.59 a -0.256.
Sottolineo anche che l’appropriatezza di un indice o di un altro, come sempre, dipende da cosa si vuole misurare. Non si pensi che uno dei due indici sia e l’altro sbagliato, semplicemente misurano due cose diverse
La formula esatta è: \(r_{12.3}=\frac{r_{12}-r_{13}r_{23} } {\sqrt{1-r_{13}^2}\sqrt{1-r_{23}^2}}\).
Si veda eventualmente la dimostrazione nella parte teorica.
Nel nostro caso:
[1] -0.2562478[1] -0.2562478Ovviamente questo risultato, ricavato attraverso correlazione fra residui, coincide con il risultato ottenuto dalla formula di \(r_{12.3}\)
2.2 Derivazione analitica di \(r_{12.3}\)
Per derivare \(r_{12.3}\) con questa impostazione, occorre richiamare soltanto alcuni risultati della regressione lineare semplice.
Intanto ricaviamo i valori dei residui \(w_{i1}, \quad w_{i2}\) in funzione dei valori originali \(x_{i1}, \quad x_{i2} , \quad x_{i3}\).
Sappiamo dalla regressione lineare semplice che:
\[ w_{i1}=x_{i1}-(a_{13}+b_{13}x_{i3}) =\overline{x}_{i1}-b_{13}\overline{x}_{i3} = \overline{x}_{i1}- \frac{\sum_{j=1}^{n}\overline{x}_{j1}\overline{x}_{j3}}{\sum_{j=1}^{n}\overline{x}_{j3}^2} \overline{x}_{i3} \] (con indico lo scarto da M, media aritmetica di X. Nell’espressione precedente a secondo membro il residuo \(i\)-esimo è espresso in funzione della regressione fra le variabili originarie, mentre nel terzo membro è espresso in funzione della regressione fra variabili scartate dalle rispettive medie; nel quarto membro si è esplicitato \(b_{13}\) )
E’ più comodo adesso passare alla notazione vettoriale, per cui con \(\overline{\mathbf{x}}_r \, (r=1,2,3)\) indico il vettore (colonna) degli scarti
relativi alla \(r-\)esima variabile:
\[ \overline{\mathbf{x}}_r=\left( \begin{array}{c} x_{1r}-M_r\\ x_{2r}-M_r\\ \vdots\\ x_{jr}-M_r\\ \vdots\\ x_{nr}-M_r\\ \end{array} \right) \qquad (r=1,2,3) \]
Tornando all’espressione dei residui abbiamo:
\[ w_{i1}=x_{i1}-(a_{13}+b_{13}x_{i3}) = \overline{x}_{i1}-\frac{\sum_{j=1}^{n}\overline{x}_{j1}\overline{x}_{j3}}{\sum_{j=1}^{n}\overline{x}_{j3}^2} \overline{x}_{i3}= \] \[ =\overline{x}_{i1}-\overline{x}_{i3} \frac{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}} \overline{\mathbf{x}}_1 }{\overline{\mathbf{x}_3}^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}_3}} \]
Adesso riesprimiamo l’intero vettore dei residui \(\mathbf{w}_1\), ottenendo:
\[ \mathbf{w}_1=\mathbf{x}_1-(a_{13}+b_{13}\mathbf{x}_3) =\overline{\mathbf{x}}_1-\overline{\mathbf{x}}_3 \frac{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}} \overline{\mathbf{x}}_1 } {\overline{\mathbf{x}_3}^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}_3}} = \] (mettendo in evidenza a destra il vettore \(\overline{\mathbf{x}_1}\)) \[ =\left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right]\overline{\mathbf{x}}_1 \]
(si noti che \(\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\) è una matrice $(n n) $, mentre \(\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3\) è uno scalare)
E’ utile notare anche che la matrice $ $ è idempotente
A questo punto applichiamo questa formula anche alla colonna dei residui dell’altra variabile \(\mathbf{w}_2\) (residui della relazione di dipendenza lineare di $ X_2 $ da $ X_3 $ ):
\[ \mathbf{w}_2=\left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right]\overline{\mathbf{x}}_2 \]
Adesso finalmente costruiamo l’indice di correlazione lineare parziale:
\[ r_{12.3}=\mbox{correlazione lineare}\left(W_1,W_2\right)= \frac{\mathbf{w}_2^{\mathsf{T}}\mathbf{w}_1} {\sqrt{\mathbf{w}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{w}_1}\sqrt{\mathbf{w}_2^{\mathsf{T}}\mathbf{w}_2}}= \] \[ =\frac{\overline{\mathbf{x}}_2^{\mathsf{T}} \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right] \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right]\overline{\mathbf{x}}_1} { \sqrt{\overline{\mathbf{x}}_1^{\mathsf{T}} \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right] \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right]\overline{\mathbf{x}}_1} \sqrt{\overline{\mathbf{x}}_2^{\mathsf{T}} \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right] \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right]\overline{\mathbf{x}}_2} } \] (ricordando tutte le proprietà viste in questa sezione ed applicando l’idempotenza della matrice$ $ ) \[ =\frac{\overline{\mathbf{x}}_2^{\mathsf{T}} \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right]\overline{\mathbf{x}}_1} { \sqrt{\overline{\mathbf{x}}_1^{\mathsf{T}} \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right]\overline{\mathbf{x}}_1} \sqrt{\overline{\mathbf{x}}_2^{\mathsf{T}} \left[\mathbf{I}-\frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\right]\overline{\mathbf{x}}_2} } \] Per farla breve, si vede che le quantità a denominatore sono le radici quadrate delle devianze residue (cosa che si sapeva già dalla costruzione dell’indice di correlazione), per cui sono proporzionali a \(\sqrt{1-r_{j3}^2}\), \(j=1,2\). A numeratore esplicitiamo il prodotto (raccogliendo i termini \(\overline{\mathbf{x}}_2^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3\) e \(\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_1\):
\[ r_{12.3}=\dots=\frac{\overline{\mathbf{x}}_2^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_1- \overline{\mathbf{x}}_2^{\mathsf{T}} \frac{\overline{\mathbf{x}}_3 \overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}}{\overline{\mathbf{x}}_3^{\mathsf{T}}\overline{\mathbf{x}}_3}\overline{\mathbf{x}}_1} {\sqrt{1-r_{13}}^2\sqrt{1-r_{23}}^2 \sqrt{Dev(X_1)}\sqrt{Dev(X_2)} }= \] \[ =\frac{r_{12}\sqrt{Dev(X_1)}\sqrt{Dev(X_2)}- \frac{r_{13}\sqrt{Dev(X_1)}\sqrt{Dev{X_3}}r_{23}\sqrt{Dev(X_2)}\sqrt{Dev{X_3}} }{Dev{X_3}} } {\sqrt{1-r_{13}^2}\sqrt{1-r_{23}^2} \sqrt{Dev(X_1)}\sqrt{Dev(X_2)} }= \] (semplificando tutte le devianze) \[ \frac{r_{12}-r_{13}r_{23} } {\sqrt{1-r_{13}^2}\sqrt{1-r_{23}^2}} \]
3 Derivazione usando la regressione lineare multipla.
link diretto alla matrice di grafici per le sole variabili Altezza, Torace, Peso rilevate su 1427 righe e grafico in 3d delle stesse tre variabili
3.1 Correlazione parziale
Esempio con tre sole variabili:
Ci poniamo ancora il problema di come misurare la correlazione fra le prime due variabili Altezza e Torace tenendo conto dell’influenza di una terza variabile Peso.
Stavolta utilizziamo un approccio tecnicamente diverso (che ci porterà allo stesso risultato numerico), basato sulla regressione lineare multipla:
Piano di regressione di \(X_1\) su \(X_2,X_3\): \[ X_1=\hat{\beta}_{12.3}X_2+\hat{\beta}_{13.2}X_3 \] Piano di regressione di \(X_2\) su \(X_1,X_3\):
\[ X_2=\hat{\beta}_{21.3}X_1+\hat{\beta}_{23.1}X_3 \] Se consideriamo ora l’intersezione di questi due piani con un piano con \(X_3\) costante, otteniamo due rette di regressione parziale. La media geometrica di questi due coefficienti ci fornisce l’indice di correlazione parziale:
\[ r_{12.3}=\sqrt{\hat{\beta}_{12.3}\hat{\beta}_{21.3}} \]You must enable Javascript to view this page properly.
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Nel grafico di sinistra sono rappresentati in nero i punti proiettati verticalmente su un piano orizzontale (disegnato al livello medio della terza variabile): si tratta quindi della distribuzione marginale delle prime due variabili. Le due rette di regressione semplice sono rappresentate in nero e sono state calcolate sulle prime due variabili senza tenere conto della terza variabile
A destra invece il grafico delle rette di regressione parziali (riportate con gli stessi colori anche a sinistra), ricavate dalle intersezioni di due piani di regressione con il piano orizzontale in cui la terza variabile è costante
Nel nostro caso:
\(r_{12.3}=\sqrt{\hat{\beta}_{12.3}\hat{\beta}_{21.3}}= \sqrt{(-0.556)( -0.118)}=-0.256\)
Mentre per la correlazione semplice abbiamo:
\(r_{12}=\sqrt{\hat{\beta}_{12}\hat{\beta}_{21}}= \sqrt{(0.759)( 0.454)}=0.587\)
3.2 Calcolo della correlazione parziale dall’inversa della matrice di varianza e covarianza
In generale supponendo che esista l’inversa di \(\boldsymbol{ \Sigma}\) (matrice di varianza e covarianza fra tutte le \(p\) variabili) e indicandola con \(\mathbf{C}\), di elemento generico \(c_{ij}\), si può dimostrare 1 che la generica correlazione parziale fra due variabili, \(\mathbf{X}_{i}\) e \(\mathbf{X}_{j}\), tenute costanti le altre \(p-2\), è data da:
\[ r_{ij.B}=\frac{-c_{ij}}{\sqrt{c_{ii} c_{jj}}} \] avendo indicato con B l’insieme degli indici di tutte le altre variabili \(B=\{1,\dots,p\}-\{i,j\}\)
dimostrazione che qui ometto, l’approccio più comodo è quello che fa uso delle proprietà delle inverse delle matrici orlate↩︎